凯时

这样讲《信号与系统》，包你一看就懂！

纤目信号与系统

第一课：什么是卷积，卷积有什么用，什么是傅利叶变换，什么是拉普拉斯变换？

许多朋侪和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后结业了。

先说”卷积有什么用”这个问题。(有人抢答，”卷积”是为了学习”信号与系统”这门课的后续章节而保存的。我大吼一声，把他拖出去…)

讲一个故事:

张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试职员，他没有学过”信号与系统”这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发职员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会爆发有限的输出。

然后，司理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时间(有信号爆发器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。

“很好！”司理说。然后司理给了张三一叠A4纸: “这里有几千种信号，都用公式说明晰，输入信号的一连时间也是确定的。你划分测试以下我们产品的输出波形是什么吧！”

这下张三懵了，他在心理想”天主，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?”

于是天主泛起了: “张三，你只要做一次测试，就能用数学的要领，画出所有输入波形对应的输出波形”。

天主接着说:”给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！”

张三照办了，”然后呢?”

天主又说，”关于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的效果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个爆发一个小的输出，你画出时序图的时间，输入信号的波形似乎是反过来进入系统的。”

张三意会了:” 哦，输出的效果就积分出来啦！谢谢天主。这个要领叫什么名字呢?”

天主说:”叫卷积！”

以后，张三的事情轻松多了。每次司理让他测试一些信号的输出效果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交使命了！

张三愉快地事情着，直到有一天，清静的生涯被突破。

司理拿来了一个小的电子装备，接到示波器上面，对张三说: “看，这个小装备爆发的波形基础没法用一个简朴的函数来说明，并且，它一连一直的发出信号！不过幸好，这个一连信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的装备上，会爆发什么输出波形！”

张三摆摆手:”输入信号是无限时长的，岂非我要测试无限长的时间才华获得一个稳固的，重复的波形输出吗?”

司理怒了:”横竖你给我搞定，不然卷铺盖！”

张三心想:”这次输入信号连公式都给出出来，一个很杂乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不可了，怎么办呢?”

实时地，天主又泛起了:”把杂乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，盘算完成以后再映射回来，宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有牢靠频率特征的工具。

我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形杂乱的输入信号在f域是整齐的容易看清晰的。这样你就可以盘算了。

同时，时间域的卷积在f域是简朴的相乘关系，我可以证实给你看看。

盘算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就获得了一个输出波形，剩下的就是你的数学盘算了！

张三谢过了天主，保住了他的事情。厥后他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么… …

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再厥后，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三最先学拉普拉斯了……

后记:

不是我们学的欠好，是由于课本欠好，先生讲的也欠好。

很浏览Google的面试题: 用3句话像老太太讲清晰什么是数据库。这样的命题很是好，由于没有深入的明确一个命题，没有仔细的思索一个工具的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼: 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间往返覆”为什么要这样”。做大学先生的做不到”把厚书读薄”这一点，讲不出哲学层面的原理，一味背书和翻讲 ppt，做着死板的数学证实，然后指责”现在的学生一代不如一代”，有什么意义吗?

第二课：究竟什么是频率什么是系统?

这一篇，我睁开的说一下傅立叶变换F。注重，傅立叶变换的名字F可以体现频率的看法(freqence)，也可以包括其他任何看法，由于它只是一个看法模子，为相识决盘算的问题而结构出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么获得输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x->y的问题都可以用x->f(x)->f-1(x)->y来获得。

1. 究竟什么是频率?

一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特征，音频信号的声音崎岖，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们笼统出一个件谐振动的看法，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。信托中学生都能明确这个。

那么，差别的频率模子着实就对应了差别的圆周运动速率。圆周运动的速率越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式

(a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时间，我们会感受赞美的声音变得怪怪的，调子很高，那是由于”圆周运动”的速率增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出酿成了sin(nt)。

(b) 在CD/盘算机上面快放或满放感受歌手快唱或者慢唱，不会泛起音调变高的征象：由于快放的时间接纳了时域采样的要领，扬弃了一些波形，可是承载了信息的输出波形不会有宽窄的转变；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。

2. F变换获得的效果有负数/复数部分，有什么物理意义吗?

诠释: F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的保存只是为了盘算的完整性。

3. 信号与系统这们课的基本主旨是什么?

关于通讯和电子类的学生来说，许多情形下我们的事情是设计或者OSI七层模子当中的物理层手艺，这种手艺的重大性首先在于你必需确立传输介质的电气特征，通常差别传输介质关于差别频率段的信号有差别的处置惩罚能力。以太网线处置惩罚基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通讯，2G和3G划分需要有差别的载频特征。那么这些介质(空气，电线，光纤等)关于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后获得基本稳固的输入呢? 那么我们就要建设介质的频率响应数学模子。同时，知道了介质的频率特征，怎样设计在它上面传输的信号才华大到理论上的最大传输速率?—-这就是信号与系统这们课向导我们进入的一个天下。

虽然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处置惩罚(声音，图像)，模式识别，智能控制等领域。若是说，盘算机专业的课程是数据表达的逻辑模子，那么信号与系统建设的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模子。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体(若是接受到的信号波形是杂乱的，那我依据什么来判断这个是1照旧0? 逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域，盘算机的应用条件是种种数模转换，那么种种物理征象爆发的一连模拟信号(温度，电阻，巨细，压力，速率等) 怎样被一个特定装备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模子。

4. 怎样设计系统?

设计物理上的系统函数(一连的或离散的状态)，有输入，有输出，而中心的处置惩罚历程和详细的物理实现相关，不是这们课体贴的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根究竟就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的条件是把输入和输出都用函数来体现(例如sin(t))。剖析的要领就是把一个重大的信号剖析为若干个简朴的信号累加，详细的历程就是一大堆微积分的工具，详细的数学运算不是这门课的中心头脑。

那么系统有那些种类呢?

(a) 按功效分类: 调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调解，信号时钟同步，负反响锁相环，以及若干子系统组成的一个更为重大的系统—-你可以画出辖档枉程图，是不是很靠近编写程序的逻辑流程图? 确着实符号的空间里它们没有区别�Ｉ杏芯褪抢肷⒆刺氖中藕糯χ贸头�(后续课程)。

(b) 按系统种别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的一连系统函数，是一种重大的线性系统。

5. 最好的课本?

符号系统的焦点是荟萃论，不是微积分，没有荟萃论结构出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义—-你甚至不知道运算了半天究竟是要作什么。以盘算机的看法来学习信号与系统，最好的课本之一就是<<Structure and Interpretationof Signals and Systems>>，作者是UC Berkeley的Edward A.Leeand Pravin Varaiya—-先界说再实现，切合人类的头脑习惯。海内的课本通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来获得什么，建设什么，避免什么；不去从熟悉论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的要领论，舍本逐末了。

第三课：抽样定理是干什么的？

1. 举个例子，打电话的时间，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那么关于一连的语言人语音信号，怎样转化成为一些列脉冲才华包管基本不失真，可以传输呢? 很显着，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新天生语言。

那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的? 在收端怎么才华恢复语言波形呢?

关于第一个问题，我们思量，语音信号是个时间频率信号(以是对应的F变换就体现时间频率)把语音信号剖析为若干个差别频率的单音混淆体(周期函数的复利叶级数睁开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号睁开，效果一样)，关于最高频率的信号分量，若是抽样方法能否包管恢复这个分量，那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方法使得信息得以生涯。若是人的声音高频限制在3000Hz，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽样生涯信息，可以看为: 关于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的体现原始的模拟一连信号。这两个信号逐一对应，相互等价。

关于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的一连信号呢? 首先，我们已经一定了在频率域上面的脉冲序列已经包括了所有信息，可是原始信息只在某一个频率以下保存，怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个装备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)体现卷积。时域的特征欠好剖析，那么在频率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很显着了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个钟型函数(由于包括时间轴的负数部分，以是现实中不保存)，做出这样的一个信号处置惩罚装备，我们就可以通过输入的脉冲序列获得险些理想的原始的语音。在现实应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。

2. 再举一个例子，关于数字图像，抽样定理对应于图片的区分率—-抽样密度越大，图片的区分率越高，也就越清晰。若是我们的抽样频率不敷，信息就会爆发混叠—-网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露—-由于不带眼睛，区分率不敷(抽样频率太低)，高频分量失真被混入了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F转变，对应的是空间频率。

话说回来了，直接在信道上传原始语音信号欠好吗? 模拟信号没有抗滋扰能力，没有纠错能力，抽样获得的信号，有了数字特征，传输性能更佳。

什么信号不可理想抽样? 时域有跳变，频域无限宽，例如方波信号。若是用有限带宽的抽样信号体现它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢回复始信号的时间，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯征象。

3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本头脑: 正交剖析要领。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z三个相互正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么剖析和剖析呢? 用相互正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的孝顺。

第四课：傅立叶变换的复数小波

说的广义一点，”复数”是一个”看法”，不是一种客观保存。

什么是”看法”? 一张纸有几个面? 两个，这里”面”是一个看法，一个主观对客观保存的认知，就像”大”和”小”的看法一样，只对人的意识有意义，对客观保存自己没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的双方转一下相毗连，酿成”莫比乌斯圈”，这个纸条就只剩下一个”面”了。看法是对客观天下的加工，反应到意识中的工具。

数的看法是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不可，(-1)*(-1)=1。那么若是保存一个笼统空间，它既包括真实天下的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间为”复数域”。那么实数的运算规则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域内里代表偏向，-1就是”向后，转!”这样的下令，一个1在圆周运动180度以后酿成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间内里被统一了。

因此，(-1)*(-1)=1可以诠释为”向后转”+”向后转”=回到原地。那么复数域怎样体现x^2=-1呢? 很简朴，”向左转”，”向左转”两次相当于”向后转”。由于单轴的实数域(直线)不包括这样的元素，以是复数域必需由两个正交的数轴体现–平面。很显着，我们可以获得复数域乘法的一个特征，就是效果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性子?不是由于复数域恰恰具有这样的乘法性子(性子决议熟悉)，而是发明复数域的人就是凭证这样的需求去弄出了这么一个复数域(熟悉决议性子)，是一种主观唯心主义的研究要领。为了却构x^2=-1，我们必需思量把乘法看为两个元素组成的荟萃:乘积和角度旋转。

由于三角函数可以看为圆周运动的一种投影，以是，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数睁开入手，连忙可以获得形式更简朴的，复数域的，和实数域逐一对应的傅立叶复数级数。由于复数域形式简朴，以是研究起来利便—-虽然自然界不保存复数，可是由于和实数域的级数逐一对应，我们做个反应射就能获得有物理意义的效果。

那么傅立叶变换，谁人令人难以明确的转换公式是什么寄义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量攻击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的剖析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无限大，各频率分量无限小罢了(不然积分的效果就是无限)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解历程，积分的区间就是从T酿成了正负无限大。而由于每个频率分量的常数无限小，那么让每个分量都去除以f，就获得有值的数—-以是周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分量之间无限的靠近，由于f很小，级数中的f，2f，3f之间险些是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以酿成一个积分式：傅立叶级数酿成磷频立叶变换。注重有个看法的转变：离散的频率，每个频率都有一个”权”值，而一连的F域，每个频率的加权值都是无限小(面积=0)，只有一个频率规模内的”频谱”才对应一定的能量积分。频率点酿成了频谱的线。

因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个一连函数，是复数频率域上面的可以画出图像的工具?谁人根号2Pai又是什么? 它只是为了包管正变换反变换回来以后，信号稳固。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。

信号传输, 傅利叶变换, 拉普拉斯变换